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标题: 2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题 [打印本页]
作者: plutoshen    时间: 2024-7-4 17:48
标题: 2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题
不需要解释，懂的都懂。




作者: plutoshen    时间: 2024-7-4 17:51
我相信姜萍没有作弊，有些人就是不能允许普通人超过他。
作者: yyz2191958    时间: 2024-7-4 17:51
完全忘记了
作者: yyz2191958    时间: 2024-7-4 17:52
谢谢分享
作者: 邪恶海盗    时间: 2024-7-4 17:57
张雪峰:不懂的是真不懂,比如我...

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作者: CQgaxm    时间: 2024-7-4 18:12
不懂的是真不懂
作者: wang1126    时间: 2024-7-4 19:00
谢谢分享
作者: topa2023    时间: 2024-7-4 19:02
搞个能直接下载的吧
作者: topa2023    时间: 2024-7-4 19:03
质疑的都是学霸，不敢质疑的基本都是学渣
作者: topa2023    时间: 2024-7-4 19:04
去卖奶茶了
作者: topa2023    时间: 2024-7-4 19:04
如果真有料一般会保送的
作者: topa2023    时间: 2024-7-4 19:05
决赛成绩啥时候公布
作者: anonyman    时间: 2024-7-4 20:21
我只能写个解
作者: ahhzzx    时间: 2024-7-4 20:32
想当年我数学也是不错的 40年过去了 怎么连题目都看不懂
作者: yanqiancike    时间: 2024-7-4 21:38
天书
作者: dyc086    时间: 2024-7-4 22:33
对于我来说一个都看不懂
作者: wn168cn@163.com    时间: 2024-7-4 22:42
谢谢分享
作者: 紧急追踪    时间: 2024-7-4 23:05
感谢分享
作者: yc2428    时间: 2024-7-4 23:16
谢谢分享
作者: 呵呵#1861    时间: 2024-7-4 23:28
谢谢分享
作者: gtc    时间: 2024-7-4 23:39
有几个能看懂的？反正我是看不懂
作者: 481416322    时间: 2024-7-5 04:14
plutoshen 发表于 2024-7-4 17:51
我相信姜萍没有作弊，有些人就是不能允许普通人超过他。

楼主说的对，作弊她找谁呀？大致看了分析与方程，属于大学数学专业本科生的知识范围，与博士、硕士的知识点没有必然的联系，但肯定具有相当强的技巧性。
作者: in9    时间: 2024-7-5 06:30
感谢分享！
作者: hexcel2016    时间: 2024-7-5 08:27
topa2023 发表于 2024-7-4 19:05
决赛成绩啥时候公布

8月份
作者: tanglf    时间: 2024-7-5 08:42
以前无人问津，现在大家都看
作者: dawink    时间: 2024-7-5 09:40
认认真真仔仔细细看了，确实是看不懂了，遥想几十年前，高数还考九十几的，现在是完全搞不懂了，
作者: dreyan    时间: 2024-7-5 10:49
这这这至少是大学，高数类的奥赛吧
作者: 不点    时间: 2024-7-8 09:16
咋没人解题呢？都是 “哎哟！不懂！”之类的。楼主好不容易把题都贴出来了，不就是想让人解题吗？难道说，不是希望有人来解题，而是希望吓唬人的？

我得承认，这题确实很吓人。其一，看不懂。其二，勉强看懂的，也是难以下手，没有解题思路，很容易得 0 分。

其中有一道题，我相信绝大多数人都能看懂题目的意思，只是难度特别大而已（如果难度不大，就不可能出现在竞赛题上）。
作者: 不点    时间: 2024-7-9 08:44
这么多天过去了，热度差不多也就散去了。

我想，假如我在这里讨论某道题的解题思路，应该也是可以的吧？不会对大家造成干扰吧？
作者: 财源茂盛    时间: 2024-7-9 09:05
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: 倒垃圾的歌者    时间: 2024-7-9 09:07
8月份，到时候就知道了
作者: 不点    时间: 2024-7-9 09:18
本帖最后由 不点 于 2024-7-9 09:21 编辑

我想要讨论的是 “分析与方程” 的第四道题：


a(n+1) = a(n) + a(n)² / n²,       0 ≤ a(1) < 1


求证数列存在极限，并且是有限数。




这个论坛不支持数学符号，在这里讨论，还是不太方便的。好在本题很少涉及复杂的微积分符号。凑合着，要求降低一些，也勉强可以讨论。


这道题，最起码能看懂题目的意思。我尝试着去做，很容易就碰上了困难，做不下去了，于是打算放弃。然而，在网上搜索，也见不到本题的答案。不死心，我接着尝试破解，尽管没啥希望。

作者: 财源茂盛    时间: 2024-7-9 09:25
提示: 作者被禁止或删除 内容自动屏蔽
作者: IT小森    时间: 2024-7-9 09:39
1
作者: 2010nianyu    时间: 2024-7-9 10:41
符号都看不懂！
作者: 不点    时间: 2024-7-9 11:04
本帖最后由 不点 于 2024-7-9 15:36 编辑

这是个单调上升的数列。当 a(1) = 0 时，所有的项都是 0，即，通项公式为 a(n)=0，那么，数列的极限也就是 0，很平凡，结论成立，无需讨论。在以后的讨论中，不失一般性，都假定 a(1) > 0，其好处是 a(1) 可以做分母了，而无需重复声明 a(1) > 0。当 a(1) > 0 时，容易知道，数列是严格单调递增的。要证明它有极限，等价于去证明它有上界。困难就在这里。虽然已知 a(1) < 1，但是，a(1) 可以很接近 1。干脆我们就来试试当 a(1) = 1 时，会是什么样的情况。根据递推公式，很容易算出，当 a(1) = 1 时，通项公式为 a(n) = n。这是发散到无穷大了。虽然已知条件限定了 a(1) < 1，但只要 a(1) 充分接近 1, （当 n 特别大时）a(n) 也就可能非常大，能大过你事先设定的某个任意大的数。就是说，要证明数列有上界，是不容易的。

我们已经知道，当 a(1) = 1 时，a(n) = n 对任意的正整数 n 成立。

而已知条件是 a(1) < 1，因此我们就容易想到 a(n) < n 对任意的正整数 n 成立。这一点能够用数学归纳法严格证明出来。下面就来证明它。
首先，当 n = 1 时，因为已知 a(1) < 1，所以命题自然成立。
其次，假定当 n = k 时命题成立，即 a(k) < k，我们来看 a(k+1) 的情况。
a(k + 1) = a(k) + a(k)² / k² < k + k² / k² = k + 1
这就是说，当 n = k + 1 时，命题也成立。根据数学归纳法原理，命题对于任意正整数 n 成立。

然而，这个结论似乎距离最终想要的 “有上界” 的目标相去甚远。
作者: 不点    时间: 2024-7-9 13:23
本帖最后由 不点 于 2024-7-9 15:29 编辑

刚才我们证明了 a(n) < n，虽然这不算是个成果，但是，有了这个结论，总比没有任何结论强一些吧？也就是说，这个结论会不会有用呢？


我们从递推关系式进行变换，来弄一下看看。


a(n+1) / a(n) = 1 + a(n) / n²
a(n) / a(n-1) = 1 + a(n-1) / (n-1)²
…………………………………………

a(3) / a(2) = 1 + a(2) / 2²
a(2) / a(1) = 1 + a(1) / 1²


把这 n 个式子相乘，得


a(n+1) / a(1) = [ 1 + a(n) / n² ] [1 + a(n-1) / (n-1)² ]…[ 1 + a(2) / 2² ] [ 1 + a(1) / 1² ]

【为了以后引用的方便，我们把上述式子暂时取个名字，叫做 “乘积关系式”】


右边利用 a(n) < n 进行放大，得



a(n+1) / a(1) < [ 1 + 1 / n ] [1 + 1 / (n-1) ]…[ 1 + 1 / 2 ] [ 1 + 1 / 1 ]

右边是 n 项相乘，但随着 n 的增大，右边发散到无穷大。因此，貌似此时只能得到


a(n+1) / a(1) 小于无穷大



这么无聊的结论。不过，假如能够对右边的乘积进行精确估计，说不定也能得到有用的结果。此处的意思是说，希望能够获得一个比  a(n) < n 更好的结果。



作者: 15910939106    时间: 2024-7-9 13:32
数学只是plan b
作者: 不点    时间: 2024-7-9 14:24
还估计个啥？闹笑话了！上述右边的乘积，恰好精确地等于 n + 1。也就是说，我们得到了

a(n + 1) / a(1) < n  + 1

即

a(n + 1) < a(1) ( n  + 1 ),  对任意正整数 n 成立。

换句话说，就是

a(n) < a(1) * n ,  对任意正整数 n > 1 成立。

当 n = 1 时，“小于号”不成立，而是成立了等式: a(1) = a(1) * 1。
作者: 不点    时间: 2024-7-9 16:11
利用刚才获得的 a(n) ≤ a(1) * n，再次代入到上述 “乘积关系式” 的右边进行放大，得

a(n+1) / a(1) ≤ [ 1 + a(1) / n ] [1 + a(1) / (n-1) ]…[ 1 + a(1) / 2 ] [ 1 + a(1) / 1 ]

这次可真没办法再对右边进行化简了，只能进行猜测和估计了。那么我们要往哪个方向去估计呢？回想一下，上次利用 a(n) < n 进行放大，得到的结果是精确的 n + 1，那么我们是不是就得到了暗示，本次新的放大结果应该与下式有某种关联（至少我们希望如此）：

(n + 1) ^ a(1)

对的，在我们的猜测中，确实应该有个小于 1 的次方，否则依然是无用的。但这毕竟是猜测，要证明它的话，恐怕还是不容易。当然，可以先在 excel 表里面用一些数据来检验一下，看看这个估计式的误差到底靠谱不靠谱，这样，心里会踏实一些。
作者: 不点    时间: 2024-7-9 17:02
电子表格的检验结果来了！是用 a(1) = 0.9 进行试验的。最左边一列，是 1 + 0.9, (1 + 0.9)*(1 + 0.9 / 2), (1+0.9)*(1+0.9/2)*(1+0.9/3),......
中间一列是 (1 + 1 )^0.9, (2 + 1) ^0.9, (3 + 1)^0.9, ......
最右边一列是第一列（即最左边那一列）除以第二列（即中间那一列）的结果，目的是看两者的误差。
  1. 1.9        1.86606598307361        1.01818478940948
  2. 2.755        2.68787537952229        1.02497311482114
  3. 3.5815        3.4822022531845        1.02851578960547
  4. 4.3873375        4.25669961260392        1.03068994744409
  5. 5.17705825        5.01575281246762        1.03215976615343
  6. 5.9536169875        5.76219877795131        1.03321964703494
  7. 6.71908202875        6.49801917084989        1.03402003781272
  8. 7.47497875698437        7.22467405584208        1.03464581228269
  9. 8.22247663268281        7.94328234724282        1.03514847807681
  10. 8.96249952962427        8.6547278641645        1.03556110258927
  11. 9.69579494568443        9.35972570285164        1.03590588586698
  12. 10.4229795666108        10.0588658697943        1.03619828532656
  13. 11.1445704596838        10.7526431272433        1.03644939460955
  14. 11.8610071320921        11.4414780867401        1.03666738179905
  15. 12.5726675600176        12.1257325320832        1.03685839406006
  16. 13.2798801102686        12.8057208137257        1.03702714618256
  17. 13.9829325866946        13.4817184944014        1.03717731478382
  18. 14.6820792160293        14.1539690253666        1.03731180912691
  19. 15.3775461262623        14.822688982139        1.03743296137374
  20. 16.0695357019441        15.4880722271687        1.03754266291161
  21. 16.7582300891702        16.1502932600767        1.03764246378091
  22. 17.4437940473636        16.8095099437965        1.03773364635185
  23. 18.1263772926952        17.4658657449912        1.03781728070899
  24. 18.8061164411712        18.1194915919424        1.0378942668311
  25. 19.4831366330534        18.7705074279234        1.0379653670987
  26. 20.1575529011206        19.4190235197713        1.03803123162178
  27. 20.829471331158        20.065141567879        1.03809241817175
  28. 21.4989900525167        20.7089556537613        1.03814940801285
  29. 22.1662000886292        21.350553053748        1.03820261858454
  30. 22.8311860912881        21.9900149415495        1.03825241374208
  31. 23.4940269778094        22.6274169979695        1.03829911208679
  32. 24.1547964865603        23.2628299425533        1.03834299378922
  33. 24.8135636634665        23.8963199992312        1.03838430621388
  34. 25.4703932898523        24.5279493058521        1.03842326858427
  35. 26.1253462601628        25.1577762757769        1.03846007587394
  36. 26.7784799166669        25.7858559183209        1.03849490206919
  37. 27.4298483470723        26.4122401237141        1.03852790291894
  38. 28.0795026500293        27.0369779173372        1.03855921826321
  39. 28.7274911727223        27.6601156872496        1.03858897401375
  40. 29.3738597241085        28.281697388413        1.03861728384602
  41. 30.0186517668329        28.9017647265068        1.03864425065026
  42. 30.6619085904078        29.5203573238125        1.038669967781
  43. 31.3036694678815        30.1375128692923        1.03869452013665
  44. 31.9439717979063        30.7532672546926        1.03871798509578
  45. 32.5828512338645        31.3676546982562        1.03874043333166
  46. 33.2203418014836        31.980707857415        1.03876192952312
  47. 33.8564760061928        32.5924579316588        1.03878253297694
  48. 34.4912849313089        33.2029347566236        1.03880229817421
  49. 35.1247983280064        33.8121668903121        1.03882127525138
  50. 35.7570446979106        34.4201816922493        1.03883951042485
  51. 36.3880513690502        35.0270053962784        1.03885704636675
  52. 37.0178445658222        35.6326631776208        1.03887392253833
  53. 37.6464494735437        36.2371792147518        1.03889017548635
  54. 38.2738902981027        36.8405767465814        1.03890583910727
  55. 38.9001903211626        37.4428781253754        1.03892094488323
  56. 39.5253719513241        38.0441048658038        1.03893552209325
  57. 40.1494567716082        38.644277690464        1.0389495980026
  58. 40.7724655835814        39.2434165721872        1.03896319803302
  59. 41.3944184484157        39.8415407734076        1.03897634591594
  60. 42.015334725142        40.4386688828419        1.03898906383066
  61. 42.6352331063326        41.0348188497061        1.03900137252922
  62. 43.2541316514245        41.6300080156697        1.03901329144937
  63. 43.8720478178734        42.2242531447326        1.03902483881699
  64. 44.4889984903123        42.8175704511883        1.03903603173911
  65. 45.1050000078705        43.409975625825        1.03904688628844
  66. 45.720068189796        44.0014838604991        1.0390574175804
  67. 46.3342183595096        44.5921098712071        1.03906763984333
  68. 46.947465367209        45.1818679197655        1.03907756648262
  69. 47.5598236111292        45.7707718342048        1.03908721013936
  70. 48.171307057558        46.3588350279682        1.03909658274407
  71. 48.781929259696        46.9460705180036        1.0391056955659
  72. 49.3917033754422        47.5324909418249        1.03911455925785
  73. 50.0006421841805        48.1181085736161        1.03912318389831
  74. 50.6087581026368        48.702935339443        1.03913157902929
  75. 51.2160631998684        49.286982831635        1.03913975369162
  76. 51.8225692114458        49.8702623223898        1.03914771645746
  77. 52.4282875528783        50.4527847766555        1.03915547546024
  78. 53.0332293323346        51.0345608643348        1.03916303842239
  79. 53.637405362703        51.6156009718573        1.039170412681
  80. 54.2408261730334        52.1959152131576        1.03917760521153
  81. 54.8435020194004        52.7755134400993        1.03918462264983
  82. 55.4454428952231        53.3544052523773        1.03919147131253
  83. 56.0466585410749        53.9326000069312        1.03919815721608
  84. 56.647158454015        54.5101068269        1.03920468609429
  85. 57.2469518964693        55.0869346101446        1.03921106341479
  86. 57.8460479046881        55.6630920373639        1.03921729439426
  87. 58.4444552968056        56.2385875798296        1.03922338401271
  88. 59.0421826805229        56.8134295067598        1.0392293370267
  89. 59.6392384604383        57.3876258923535        1.03923515798176
  90. 60.2356308450427        57.961184622505        1.03924085122399
  91. 60.8313678534003        58.5341134012152        1.03924642091081
  92. 61.4264573215314        59.1064197567182        1.03925187102116
  93. 62.020906908514        59.6781110473373        1.03925720536493
  94. 62.6147241023189        60.2491944670858        1.03926242759188
  95. 63.2079162253935        60.8196770510264        1.03926754119992
  96. 63.8004904400065        61.3895656804017        1.03927254954297
  97. 64.3924537533674        61.9588670875479        1.03927745583826
  98. 64.983813022531        62.5275878606027        1.03928226317324
  99. 65.5745749590995        63.0957344480193        1.03928697451208
  100. 66.1647461337313        63.6633131628941        1.0392915927017
复制代码


从试验数据观察到，两者的误差还算不错。从最右边一列可以看到，误差是缓慢增大的，但增大的幅度逐渐变小。我们还观察到，(n + 1) ^ a(1) 一列（即中间那一列）比乘积列（即最左边那一列）更小一些。不管那么多了，总之，现在我们要猜测这样的不等式了：


a(n + 1) / a(1) ≤ (n + 1) ^ a(1)


假如成立，这将大功告成。

作者: 不点    时间: 2024-7-10 10:07
多谢 plutoshen 的支持。有必要再次声明一下，我在这里贴这些内容，不希望打扰到了别人。我是看到热度过去了，没什么人关注了，冷清下来了，才贴这些有关题目本身的内容的。就是为了消遣而已。题目确实很难，而像我这样，用 “土办法”，估计是没啥希望能破解成功的。咱肯定不是来追求成功的，而是追求一种乐趣，也就是说，玩玩而已，消遣而已，练练脑子而已。岁数大了，脑子早已僵化了，现在练练脑子，也没啥坏处。
作者: shy20070509    时间: 2024-7-10 10:16
每个字都认识，但是它们合到一起就不知道什么意思了。
作者: 不点    时间: 2024-7-10 11:13
前面我们猜测了这样一个估计式：


a(n) ≤ a(1) * n ^ a(1)


但是，用电子表格来检验的时候，出现了两个异常的数据点，使得上述不等式不能成立。这两个异常点是 a(2) 和 a(3)。令人欣慰的是，无论我怎样改变 a(1) 的值，异常点都是 a(2) 和 a(3)，没再扩散到更大的范围。也就是说，从 a(4) 开始，经过 a(5), a(6) ......，直到无穷，上述不等式恒成立。这就给了我们动用数学归纳法的一线希望。


下面说说用电子表格进行的另外一个检验。前面那个估计式出现了两个异常点，那么，本次的思路是，把右边放大，让异常点消失掉。于是，就有了下面这个估计：


a(n) ≤ n ^ a(1)

用电子表格检验的结果是：没有异常点了。


上述两个估计式，无论哪个，只要能够获得严格证明，那都意味着成功。电子表格试验的结果，肯定不属于 “证明”，电子表格只能进行有限的检验。不过要想证明出来，恐怕又是一个难题。



作者: liangzr1976    时间: 2024-7-10 19:02
481416322 发表于 2024-7-5 04:14
楼主说的对，作弊她找谁呀？大致看了分析与方程，属于大学数学专业本科生的知识范围，与博士、硕士的知识 ...

我是20年前的本科，感觉当年的 普通本科 大学数学 不是这些吧！看起来至少是考研准备及硕士研究生之类的数学
作者: plutoshen    时间: 2024-7-10 19:15
没想到能在这里看到大佬做数学题。
作者: 家驹    时间: 2024-7-10 19:17
一脸懵逼进来，一脸懵逼出来
作者: 481416322    时间: 2024-7-11 04:09
liangzr1976 发表于 2024-7-10 19:02
我是20年前的本科，感觉当年的 普通本科 大学数学 不是这些吧！看起来至少是考研准备及硕士研究生之类的 ...

就知识点来说，没有超标，但难度体现在灵活性，综合性，技巧性诸方面
作者: qindaishi    时间: 2024-7-11 05:14
路过看看，有人会解么？
作者: 不点    时间: 2024-7-11 06:23
本帖最后由 不点 于 2024-7-11 11:17 编辑

前面我们猜测了两个估计式：

a(n) ≤ a(1) * n ^ a(1)   【只当 n > 3 时成立】
a(n) ≤ n ^ a(1)             【对于所有正整数 n 成立】

前面也说了，根据电子表格的检验，第一个不等式存在两个例外值（即异常点）a(2) 和 a(3)，第二个不等式通过了所有的检验。但是，当尝试用数学归纳法进行证明的时候，我都没能顺利做下去。客观上究竟能否用数学归纳法把它们做出来，我也不知道。我只能说，我的能力有限，无法做到。我相信上述两个式子是成立的，因此，应该可以被别人证明出来，甚至他也用数学归纳法来证明，只不过（需要）处理得更细致罢了。我失败了，是因为我没那么细致，或者说，我能力不济，达不到完成证明所需要的水平。

失败之后，我又尝试了一些估计式，其中，下面这个估计式貌似是成功的，可以用数学归纳法来证明：

a(n) ≤ b * n ^ c   

这里引入常数 b = a(1)，这是因为 a(1) 写起来太长，换用字母 b 更友好一些。

而常数 c 是介于 b 和 1 之间的数，而且是在正中间，即 c = (b + 1) / 2

也就是说，c 比 b 大一些，但仍然小于 1，也即

a(1) < c < 1

之所以要弄出一个 c 来，就是想要它对数学归纳法的证明过程有帮助。


再引入一个常数 d = c - b，它也等于 1 - c，或者也等于 (1 - b) / 2

画个图，用来直观地说明这些常数之间的大小关系：


--------------------------------------- a(1) ----------------------------
---------------------------------------- b ------------- c ------------- 1
---------------------------------------- | <----d----> | <----d----> |




作者: martin313    时间: 2024-7-11 06:42
只是看懂了矩阵的几个阿拉伯数字，其他基本上不懂
作者: 不点    时间: 2024-7-11 07:02
再解释一下，方便懒人们观看。我也是懒人，我也希望别人写的文章通俗易懂。

只要 a(1) 确定了，这些常数也都确定了。虽然看起来眼花缭乱的，有好几个常数，但是，它们都是从 a(1) 导出的，都是唯一确定的，而不是随机的、毫无关联的。要有点耐心往下看。

我说过，这个最新的估计式是可以用数学归纳法证明出来的。在指数位置（即多少“次方”的位置）引入常数 c 之后，数学归纳法终于畅通无阻了。一旦完成证明，也就差不多等于做完了整个题目，因为剩下的工作非常少。

因此，数学归纳法的证明过程，是关键步骤。也许有人不想让我立刻写出证明的过程，他可能想要自己试试。所以，我把这个证明暂时挂起来，而先做剩下的那一点收尾工作。
作者: 不点    时间: 2024-7-11 10:52
分别用 b = a(1) = 0.1，0.9，0.99，0.999 对 a(n) ≤ b * n ^ c  进行了检验，全都通过。用电子表格进行的数据检验，也是对 “数学归纳法证明过程是否正确” 的一个检验。数据检验时，万一有不正常的反例出现，那就意味着数学归纳法证明过程中含有错误，属于无效证明。


好的，假定 a(n) ≤ b * n ^ c 是已经被严格证明了的，继续解题。


先前得到了如下的 “乘积关系式”：


a(n+1)/a(1) = [ 1+a(n)/n² ] [ 1+a(n-1)/(n-1)² ]…[ 1+a(2)/2² ] [ 1+a(1)/1² ]


将 a(n) ≤ b * n ^ c 代入右端进行放大，得


a(n+1)/a(1) ≤ [ 1+b*n^c/n² ] [ 1+b*(n-1)^c/(n-1)² ]…[ 1+b*2^c/2² ] [ 1+b*1^c/1² ]


右端乘积中含 n 的分式约分以后，分母中的次方数为 (2 - c)。由于 c < 1，因此次方数 (2 - c) > 1。那么这个乘积随着 n 的增大是收敛的，也即，有极限 L 存在，而且 L 是有限数。这个乘积随着 n 的增大也是严格递增的，因此，不管 n 是多大，右端都小于 L。于是得


a(n+1) / a(1) < L 【对任意正整数 n 成立】


a(n+1) < a(1) * L  【对任意正整数 n 成立】



这就是说，a(2), a(3), ...... 都是小于 a(1) * L。不用说了，a(1) 也是小于 a(1) * L，这是因为 a(1) < a(2) < a(3) < ... （这个数列本来就是严格递增的）。因此


a(n) < a(1) * L  【对任意正整数 n 成立】


这就证明了数列 a(n) 有上界 a(1) * L。既然单调递增数列有上界，它也就有极限，并且极限是个有限数。证毕。



作者: 2011medp7060    时间: 2024-7-11 11:58
谢谢！
作者: 240893    时间: 2024-7-11 13:40
GPT能解决吗
作者: ster1357A    时间: 2024-7-11 14:02
完全忘记了，居然连公式符号都不懂得读
作者: plutoshen    时间: 2024-7-11 14:03
240893 发表于 2024-7-11 13:40
GPT能解决吗

你是说AI的gpt吧？猛一看还以为gpt分区。
不要迷信，很多问题AI回答的都驴唇不对马嘴，只能参考。
作者: 2011bigstern    时间: 2024-7-11 14:04
感觉学历高的质疑的多点。
作者: 不点    时间: 2024-7-11 20:06
现在就来尝试证明：


a(n) ≤ b * n ^ c



请大家检查证明过程是否有错。



首先，当 n = 1 时，a(1) ≤ b * 1 ^ c 显然成立，因为右端就等于 b，也即 a(1)。
现在假设当 n = k 时不等式成立，即 a(k) ≤ b * k ^ c。利用已知的数列递推关系式，我们来考察 a(k + 1) 的情况。


a(k + 1) = a(k) + a(k)² / k²

               ≤ b * k ^ c + b² * k ^ (2 * c) / k²
                = b * k ^ c * (1 + b / k ^ (2 - c))


我们想要证明的是 a(k + 1) ≤ b * (k + 1) ^ c，因而只需证明



b * k ^ c * (1 + b / k ^ (2 - c)) ≤ b * (k + 1) ^ c


也即



1 + b / k ^ (2 - c) ≤  (1 + 1 / k) ^ c ……………………………………①

利用 (1 + x) ^ c 的幂级数展开式（教材知识）可以知道


1 + c * x + (c * (c - 1) / 2) * x² ≤ (1 + x) ^ c 对于 0 ≤ x ≤ 1 成立【注意 c < 1】。



我们的目标是要证明 ① 式。利用上述不等式，我们知道，要证明 ① 式，只需证明


1 + b / k ^ (2 - c) ≤  1 + c / k + (c * (c - 1) / 2) / k²


即可。我们对上面这个不等式进行等价变换【两边都去掉常数 1】，得


b / k ^ (2 - c) ≤  c / k + (c * (c - 1) / 2) / k²


利用常数之间的关系 c = b + d，d = 1 - c，得




b / k ^ (1 + d) ≤  (b + d) / k - (c * d / 2) / k²


即



b / k ^ (1 + d) ≤ b / k + d / k - (c * d / 2) / k²


即



b / k ^ (1 + d) ≤ b / k + d / k *(1 - c / 2 / k)


而最后这个不等式显然成立，只需注意到 1 - c / 2 / k > 0。



至此，就完成了 a(k + 1) ≤ b * (k + 1) ^ c 的证明，即，当 n = k + 1 时，a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。


根据数学归纳法原理，a(n) ≤ b * n ^ c 对于任意正整数 n 成立。






作者: galaxyz2012    时间: 2024-7-13 01:34
阿赛还是有难度的
作者: 北风其凉    时间: 2024-7-13 02:22
没有选择题，答不了
作者: 不点    时间: 2024-7-13 06:32
前一帖给出了 a(n) ≤ b * n ^ c 的证明，这里，常数 b = a(1)，c = (b + 1) / 2

也就是说，次方数 c 是 b 和 1 的算术平均值。

我昨天又尝试证明了，当 c 是 b 和 1 的几何平均值，即 c = b ^ 0.5 时，【根号无法写出来，这里 b ^0.5 其实就是 “根号 b”】 ， a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。确实证出来了，数学归纳法没有遇到障碍。但我不再写证明过程了。这里我想说几个观点。

第一，能用数学归纳法直接做出来的题，通常都不是难题。那些难题，你想用数学归纳法来解题，可能都行不通。当然，阿里巴巴这道题难度确实很高，它没有提示你先证明 a(n) ≤ b * n ^ c，然后再去证明 a(n) 有极限。假如本题是先求证 a(n) ≤ b * n ^ c，再求证数列存在极限，那样的话，难度就陡然下降了。也就是说，你自己首先需要能够猜到 a(n) ≤ b * n ^ c，然后才能用数学归纳法顺利做出来。真正的困难就在此处，即，“猜”，就像猜谜语那样。


第二，当 c 是 b 和 1 的几何平均值时，a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。这个结果，比前面给出的 c = (b + 1) / 2 时的结果更 “优”一些。然而，“优”得不多，本质上不算是“优”，因为当 b 接近于 1 时，其算术平均值与几何平均值也越来越接近。


第三，既然当 c 是 b 和 1 的几何平均值时，我也用数学归纳法做出来了，那么，这就让我有了 “双保险”式的心理放松，强化了我对前面证明过程正确性的信心。一般来说，做完一道题，自己不敢肯定是否做对了。“一不留神把什么地方弄错了”是很常见的。比如，1 + c * x ≤（1 + x) ^ c 当 0 < c < 1 时是不成立的【此处假定 0 ≤ x ≤ 1】，虽然此不等式在 c > 1 时确实是成立的；如果疏忽大意，以这个错误的不等式为基础去做题，其结果就是无效的证明。



第四，前面用数学归纳法做出来的，都是次方数 c 大于 b 的情况。如果次方数就用 b，那我就做不出来了【别人能否做出来，我不知道】。即使现在，让我证明 a(n) ≤  n ^ b，我也做不出来，虽然我用电子表格可以检验，此不等式是没有遇到反例的，因而我也相信此不等式是成立的。当然了，此不等式究竟能否成立，我也不知道，因为毕竟我证明不了。现在假定此不等式确实是成立的，而阿里巴巴的原题改为求证此不等式成立，那样的话，其难度就又上升了一个大台阶，对我来说，无法完成。


作者: XJMGS    时间: 2024-7-13 15:42
看着好像没看懂的样子
作者: gufeng51520    时间: 2024-7-13 16:00
谢谢分享
作者: 不点    时间: 2024-7-13 21:01
后续思考。既然数列有极限，那么，极限究竟会是多大呢？

用电子表格来粗略研究数据规律，发现 a(n) < (1 + b) * b / (1 - b)，此处 b = a(1)，就是说，b 代表数列的首项。

有以下两个疑问：

一、这个不等式是否成立？

二、不等式右端会不会是数列  a(n) 的极限？
作者: 不点    时间: 2024-7-14 12:32
本帖最后由 不点 于 2024-7-14 20:06 编辑

用一个在线画函数曲线的网页，来画下面这个函数的曲线：


1/(1-0.999)/0.999*((1+x)^0.999 - 1 - 0.999*x^(2-0.999))


常数 0.999 只是一个例子。可以换成任意一个常数 s 来试验，0 < s < 1


可以发现，无论 s 在 0 到 1 之间如何变化，函数 f(x) = (1 + x) ^ s - 1 - s * x ^ (2 - s) 的正的零点总是位于区间 (0.7392473, 0.7468818)。


也就是说，当 0 < x < 0.7392473 时，总是有 f(x) > 0。我们不证明这一点，而只是利用它。利用它就可以证明前述不等式 a(n) ≤ b * n ^ b 对于 n > 3 成立，此处 b = a(1)。数学归纳法的 “归纳递推”这一步，需要利用当 0 < x ≤ 0.5 时 f(x) > 0。“归纳递推”的推证过程略去。
在“归纳奠基”这一步，需要证明 a(4) ≤b * 4 ^ b。利用数列 a(n) 的递推关系式，可以用 b 来表示 a(4)【为紧凑起见，下式右端省略乘号】：


a(4) = b(b+1)(1+b(b+1)/4)(1+b(b+1)(1+b(b+1)/4)/9)



要证明 a(4) ≤b * 4 ^ b，只需证明


(b+1)(1+b(b+1)/4)(1+b(b+1)(1+b(b+1)/4)/9) - 4 ^ b ≤ 0


利用在线函数曲线作图工具容易了解上述不等式成立。这个不等式也可以证明出来，证明过程略去。


作者: plutoshen    时间: 2024-7-14 19:21
不点 发表于 2024-7-14 12:32
用一个在线画函数曲线的网页，来画下面这个函数的曲线：

网页发一下吧，让我们也看看函数的曲线。
作者: 不点    时间: 2024-7-14 20:11
plutoshen 发表于 2024-7-14 19:21
网页发一下吧，让我们也看看函数的曲线。

这种网页有很多，我只是随便找了一个：

https://demo2.yunser.com/math/fooplot/

这类网页非常好，能够帮助你观察函数的曲线，让你直观了解函数的性质。比电子表格更适合于做数学题。
作者: 不点    时间: 2024-7-14 21:58
用在线画曲线的网页，在 0 < x < 1 的范围，观察这个函数的曲线


(1+0.7)^x -1 - x * 0.7 ^ (2-x)


可以直观了解，此函数的函数值总是 > 0。


这就是说，前面所说的函数


f(x) = (1 + x) ^ s - 1 - s * x ^ (2 - s)


在 x = 0.7 时，总是正数，不管 s 在 0 到 1 之间如何变化。那么，【通过观察 f(x) 的曲线图】这也就说明了，f(x) > 0 当 0 < x < 0.7 时恒成立，不管常数 s 在 0 到 1 之间如何变化。当然，这只是从函数 f(x) 的曲线图得出的直观结论，不能算是严格证明。在考试时，如果由于时间紧张，缺少了严格证明步骤，但你所引用的结论本身是正确的，我认为，这还是可以得分的，尽管也可能会扣掉一些分数。最起码你已经有思路了，比“完全没思路”还是要好很多。
作者: plutoshen    时间: 2024-7-14 22:08
不点 发表于 2024-7-14 20:11
这种网页有很多，我只是随便找了一个：

https://demo2.yunser.com/math/fooplot/

哦，我原来只知道有这种软件，网站还是第一次知道。
作者: 不点    时间: 2024-7-15 06:12
本帖最后由 不点 于 2024-7-15 09:40 编辑
plutoshen 发表于 2024-7-14 22:08
哦，我原来只知道有这种软件，网站还是第一次知道。

关键是浏览器太强大了。人类的文明要进步，所以，浏览器要越来越强大，强大到能够充当一个操作系统，实现操作系统的（几乎）全部功能。不是有个开源的浏览器桌面吗？它的主页在这里：https://www.os-js.org 。它的演示页在这里： https://demo.os-js.org/

有人想发展浏览器，也有人要阻止浏览器的发展。这是利益冲突的表现。想要发展浏览器者，是利益驱使；想要阻碍浏览器者，也是利益驱使。曾经的 Firefox OS 已经停止开发了。我认为，这是某些（或某个）利益集团害怕了，拿钱消灾，把 firefox OS 给灭掉了。世上的一切，皆是利益。现在有利益集团想要灭掉通用浏览器，推行它自己的专用浏览器，或者叫做 APP，或者叫做客户端，本质一样，都是把开源的通用的浏览器代码拿过来进行改造，改造成封闭源码的、私有的浏览器，其目的是在用户电脑、手机上种植木马，从而监督和控制用户的一举一动。


作者: plutoshen    时间: 2024-7-15 10:14
不点 发表于 2024-7-15 06:12
关键是浏览器太强大了。人类的文明要进步，所以，浏览器要越来越强大，强大到能够充当一个操作系统，实现 ...

嗯嗯，好多东西明明在浏览器能看，非要让人下载安装他们的客户端，比如XXDN。
作者: 不点    时间: 2024-7-15 11:20
plutoshen 发表于 2024-7-15 10:14
嗯嗯，好多东西明明在浏览器能看，非要让人下载安装他们的客户端，比如XXDN。

安心搞数学吧。搞数学，基本上不伤害利益集团的利益。而电脑相关行业，太过于利益化了。

搞数学，你还可能有所收获。

搞电脑，到头来，你可能发现，你一无所获，然而你却很清楚你失去了啥 —— 你的若干年的时间、岁月、青春、健康，可能就白白失去了。

当然了，年轻人要明白我说的话，还是不容易的。要上了岁数才会有体会。
作者: plutoshen    时间: 2024-7-15 21:09
不点 发表于 2024-7-15 11:20
安心搞数学吧。搞数学，基本上不伤害利益集团的利益。而电脑相关行业，太过于利益化了。

搞数学，你还 ...

不知道您多大年纪，我也不是年轻人了。
钱不钱的无所谓，研究技术是我的个人爱好，单纯的兴趣。
国外那么多开源软件，人家都不在乎这些，要不然所有人都是各大厂商的奴隶了。
作者: 不点    时间: 2024-7-16 07:38
您开的这个技术帖很好。看得出您喜欢研究技术。我也喜欢技术，这是我们的共同点。在有些问题（尤其是“非技术”问题）上的认识有差异、有不同，这也是没办法的事情，只能经历时间的流逝，才有可能改变。我前一帖的意思是说，技术分两种，一种是与利益集团无关（或关系很小）的技术，另一种是与利益集团密切相关的技术。前一种技术基本上算是自由的，不受控。后一种技术是受控的。那可能就有人说了：“我咋就看不见有啥东西受控了呢？”我这么回答：“没到时候，时候未到；等时候到了，你自然就知道啥东西受控了。”当然了，受控的技术，也是可以研究的。在那些不那么敏感的领域进行研究或应用，都是被允许的。在那些不怎么伤害控制者的领域进行研究，是可以的。但如果你某一天“超范围”了，你就会遇到阻碍。因为你的研究是逐步深入的，你的水平也是逐步提高的，因此，总有一天，你“超纲”了。那时候你发现，前头的路堵死了，走不通。不是因为技术困难，而是因为控制者不允许。如果事情确实是这样一个前景的话，我就觉得，还不如早早看穿这一切，早早远离这个坑。

论坛上谈这些非技术的话题，可能永远也谈不完。我们还是回归共同感兴趣的技术话题吧。
作者: plutoshen    时间: 2024-7-16 15:49
不点 发表于 2024-7-16 07:38
您开的这个技术帖很好。看得出您喜欢研究技术。我也喜欢技术，这是我们的共同点。在有些问题（尤其是“非技 ...

懂的都懂，阻碍技术进步的永远是人，所以我们自娱自乐就好，不为名不为利，不求回报。
作者: zzyo12138    时间: 2024-7-16 16:55

谢谢分享
作者: bigdiger_KING    时间: 2024-7-25 09:05
幸亏当年没去学数学
作者: nongren    时间: 2024-7-25 09:05

多谢分享！！
作者: ynb168c    时间: 2024-7-25 09:20
感谢分享！
作者: ldg_2    时间: 2024-7-25 14:34
如看天书，甚至连题目中的某些符号都不会读，很受打击！
作者: 不点    时间: 2024-7-26 15:41
抱歉，我上班时看到一篇文章，回家再搜，竟然搜不到了。

好不容易，在一个偏僻处，又搜到了这篇文章。为防止它彻底消失掉，我得在这里保存一份。说它偏僻，是说通过搜索引擎找不到它，当然也可能是因为我人品太差，所以我才搜不到。

本人不对事情本身进行鉴别，本人只想保存原文，以防某一天永远找不到了。

赵斌再次否认姜萍是“天才少女”，强调是团队的一次炒作事件
https://cj.sina.com.cn/articles/view/2024096085/78a54155001019l7i

我不想保存图片，因为太麻烦，而且会占用本论坛的资源空间。以下只复制原文中的文字部分。




姜萍从阿里初赛到决赛，从被认可到质疑，目前她本人和校方并没有对此事做出回应。

整个暑假，姜萍选择“隐身”，她和家人都在过着属于自己的普通低调生活。

近日，关于她被评为“天才少女”的事件再一次引起了热议。

同时不少人形容姜萍的事件要彻底反转，主要是开始有人怀疑姜萍并没有真正的数学天赋。

尤其是在此前被质疑的一群人发声之后，赵斌，39个联名书信要求彻查此事的参赛者之后。

很多人在质疑姜萍事件究竟是不是一次学校与老师的炒作事件？

就连涟水教体局也在等待阿里达摩院方面的一个最终结果，大家都在等待两个方面的最终决定。

1：达摩院的决赛成绩。2：阿里赛事委员方对姜萍调查的回应。

那么赵斌这边的反应是怎么样的呢？

大家似乎对他有了一些误解，随着他的表态开始深入，他强调自己并没有将矛头指向姜萍，而是在强调这一件事情，怀疑是炒作事件。

另外他也在此前就强调了在某些平台上面并没有用“赵斌”这个名字，事实上自己不会在任何媒体账号上面用这两个字，所以关于500万的对赌，关于对姜萍的质疑，是假的。

回到事件的核心，如果只是强调姜萍事件是炒作，并没有针对姜萍，那么事件是不是有像赵斌所说的那样子呢？

他表示姜萍也许只是该事件的一个载体，或者事件本身就是围绕着姜萍有没有真正的数学天赋而展开，所以她是否像被宣传的那样子，数学天才？

大家为什么质疑姜萍，因为本质上是对该事件抱了一定的怀疑态度。

如果是学校和数学老师炒作，是团队在炒作，那么姜萍极有可能只是一颗棋子，事件如果真如赵斌所言，那姜萍事件就彻底反转了。

大家还在期待着姜萍决赛的最终成绩呢，8月底，成绩出炉的那一刻，是否是姜萍事件最终下结论的时候？

在最后，赵斌表示自己只关心数学，不在乎该事件本质的问题。是炒作还是真假，一切已经不再重要。

那么从网友们的舆论来看，大家还是对姜萍抱着非常肯定且支持的态度，相信她是数学天才，是一个从中专走出来的天赋少年。

17岁，中专生，自学高等数学，被一众专业数学大师给质疑，甚至怀疑她作弊，要求阿里彻查此事。

目前姜萍和家人都没有发声，姜萍本人也选择了隐藏起来。

那么这一件事情的背后，真的是炒作？为何那么多的参赛选手联名要求彻查此事，是他们输不起吗？

从当下的情况来看，姜萍被质疑极有可能会迎来彻底的反转。

不过在真相没有出来之前，我们普通人宁愿相信姜萍事件是真的。毕竟寒门出贵子太不容易了，尤其是像姜萍这样子的中专生。

姑娘才17岁，自学成才，相信她，她太不容易了，为她点赞。

作者: plutoshen    时间: 2024-7-26 16:06
不点 发表于 2024-7-26 15:41
抱歉，我上班时看到一篇文章，回家再搜，竟然搜不到了。

好不容易，在一个偏僻处，又搜到了这篇文章。为 ...

引用一段话：

永远不要停止去做你认为正确的事情
永远不要放弃
在你的生命中，会有很多时候，你想放弃，想回家
但我做不到
永远不要放弃
无论别人怎么说，
你都要有信心去说出你心中的希望
去表达那激荡你灵魂的热爱
作者: 不点    时间: 2024-7-26 18:11
plutoshen 发表于 2024-7-26 16:06
引用一段话：

永远不要停止去做你认为正确的事情

我不认为有什么绝对的正确和错误。立场不同，结论就不同。我站在谁的立场上？我只能站在自己的立场上。但是，要判断正确与错误，那可不容易，一不留神，就判断错了。所以，其实我没有立场，或者说，我还没有形成明确的立场。我在观察，或者说是吃瓜、看戏。

虽然我没有立场，但我有信念。我有如下两个信念：

1、纸里包不住火。

2、真金不怕烈火炼。
作者: plutoshen    时间: 2024-7-26 18:48
不点 发表于 2024-7-26 18:11
我不认为有什么绝对的正确和错误。立场不同，结论就不同。我站在谁的立场上？我只能站在自己的立场上。但 ...

对，这个世界上没有对错只有真假和利益。

买东西的希望东西便宜，卖东西的希望卖个好价钱，东西真假好坏是客观确定的。

买卖双方都希望价格对自己有利，当然就有了不同的看法，谁也不能说对方就是错的。
作者: 不点    时间: 2024-7-27 07:12
前面有朋友说“幸亏当年没去学数学”。这意思大概是：数学太难了，一旦上了贼船，那可是骑虎难下。

但是，当年是当年，当年不代表现在，当年也不代表永远。当年你可能选择了一条符合你自身发展的道路，那是正确的道路。但是现在，情况可能已经发生了变化。当年你有竞争压力，迫使你选择有利于竞争的道路，迫使你放弃那些你认为属于“包袱”的东西（比如数学）。现在，你的生活稳定下来了，没有了竞争的压力，此时，假如你还想学数学的话，我认为恰是时候。
作者: plutoshen    时间: 2024-7-27 07:42
学数学，学编程，1就是1，2就是2，差一个符号就不行，没有敷衍应付，没有尔虞我诈，永远不要停止去做你认为正确的事情。
作者: wn168cn@163.com    时间: 2024-10-21 20:32
佩服各位坛友 有玩大厂的实力



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