2024阿里巴巴全球数学竞赛决赛试题

倒垃圾的歌者

8月份，到时候就知道了

不点

我想要讨论的是 “分析与方程” 的第四道题：


a(n+1) = a(n) + a(n)² / n²,       0 ≤ a(1) < 1


求证数列存在极限，并且是有限数。




这个论坛不支持数学符号，在这里讨论，还是不太方便的。好在本题很少涉及复杂的微积分符号。凑合着，要求降低一些，也勉强可以讨论。


这道题，最起码能看懂题目的意思。我尝试着去做，很容易就碰上了困难，做不下去了，于是打算放弃。然而，在网上搜索，也见不到本题的答案。不死心，我接着尝试破解，尽管没啥希望。

IT小森

1

2010nianyu

符号都看不懂！

不点

这是个单调上升的数列。当 a(1) = 0 时，所有的项都是 0，即，通项公式为 a(n)=0，那么，数列的极限也就是 0，很平凡，结论成立，无需讨论。在以后的讨论中，不失一般性，都假定 a(1) > 0，其好处是 a(1) 可以做分母了，而无需重复声明 a(1) > 0。当 a(1) > 0 时，容易知道，数列是严格单调递增的。要证明它有极限，等价于去证明它有上界。困难就在这里。虽然已知 a(1) < 1，但是，a(1) 可以很接近 1。干脆我们就来试试当 a(1) = 1 时，会是什么样的情况。根据递推公式，很容易算出，当 a(1) = 1 时，通项公式为 a(n) = n。这是发散到无穷大了。虽然已知条件限定了 a(1) < 1，但只要 a(1) 充分接近 1, （当 n 特别大时）a(n) 也就可能非常大，能大过你事先设定的某个任意大的数。就是说，要证明数列有上界，是不容易的。

我们已经知道，当 a(1) = 1 时，a(n) = n 对任意的正整数 n 成立。

而已知条件是 a(1) < 1，因此我们就容易想到 a(n) < n 对任意的正整数 n 成立。这一点能够用数学归纳法严格证明出来。下面就来证明它。
首先，当 n = 1 时，因为已知 a(1) < 1，所以命题自然成立。
其次，假定当 n = k 时命题成立，即 a(k) < k，我们来看 a(k+1) 的情况。
a(k + 1) = a(k) + a(k)² / k² < k + k² / k² = k + 1
这就是说，当 n = k + 1 时，命题也成立。根据数学归纳法原理，命题对于任意正整数 n 成立。

然而，这个结论似乎距离最终想要的 “有上界” 的目标相去甚远。

不点

刚才我们证明了 a(n) < n，虽然这不算是个成果，但是，有了这个结论，总比没有任何结论强一些吧？也就是说，这个结论会不会有用呢？


我们从递推关系式进行变换，来弄一下看看。


a(n+1) / a(n) = 1 + a(n) / n²
a(n) / a(n-1) = 1 + a(n-1) / (n-1)²
…………………………………………

a(3) / a(2) = 1 + a(2) / 2²
a(2) / a(1) = 1 + a(1) / 1²


把这 n 个式子相乘，得


a(n+1) / a(1) = [ 1 + a(n) / n² ] [1 + a(n-1) / (n-1)² ]…[ 1 + a(2) / 2² ] [ 1 + a(1) / 1² ]

【为了以后引用的方便，我们把上述式子暂时取个名字，叫做 “乘积关系式”】


右边利用 a(n) < n 进行放大，得



a(n+1) / a(1) < [ 1 + 1 / n ] [1 + 1 / (n-1) ]…[ 1 + 1 / 2 ] [ 1 + 1 / 1 ]

右边是 n 项相乘，但随着 n 的增大，右边发散到无穷大。因此，貌似此时只能得到


a(n+1) / a(1) 小于无穷大



这么无聊的结论。不过，假如能够对右边的乘积进行精确估计，说不定也能得到有用的结果。此处的意思是说，希望能够获得一个比  a(n) < n 更好的结果。

15910939106

数学只是plan b

不点

还估计个啥？闹笑话了！上述右边的乘积，恰好精确地等于 n + 1。也就是说，我们得到了

a(n + 1) / a(1) < n  + 1

即

a(n + 1) < a(1) ( n  + 1 ),  对任意正整数 n 成立。

换句话说，就是

a(n) < a(1) * n ,  对任意正整数 n > 1 成立。

当 n = 1 时，“小于号”不成立，而是成立了等式: a(1) = a(1) * 1。

不点

利用刚才获得的 a(n) ≤ a(1) * n，再次代入到上述 “乘积关系式” 的右边进行放大，得

a(n+1) / a(1) ≤ [ 1 + a(1) / n ] [1 + a(1) / (n-1) ]…[ 1 + a(1) / 2 ] [ 1 + a(1) / 1 ]

这次可真没办法再对右边进行化简了，只能进行猜测和估计了。那么我们要往哪个方向去估计呢？回想一下，上次利用 a(n) < n 进行放大，得到的结果是精确的 n + 1，那么我们是不是就得到了暗示，本次新的放大结果应该与下式有某种关联（至少我们希望如此）：

(n + 1) ^ a(1)

对的，在我们的猜测中，确实应该有个小于 1 的次方，否则依然是无用的。但这毕竟是猜测，要证明它的话，恐怕还是不容易。当然，可以先在 excel 表里面用一些数据来检验一下，看看这个估计式的误差到底靠谱不靠谱，这样，心里会踏实一些。

不点

电子表格的检验结果来了！是用 a(1) = 0.9 进行试验的。最左边一列，是 1 + 0.9, (1 + 0.9)*(1 + 0.9 / 2), (1+0.9)*(1+0.9/2)*(1+0.9/3),......
中间一列是 (1 + 1 )^0.9, (2 + 1) ^0.9, (3 + 1)^0.9, ......
最右边一列是第一列（即最左边那一列）除以第二列（即中间那一列）的结果，目的是看两者的误差。

1. 1.9        1.86606598307361        1.01818478940948
   
2. 2.755        2.68787537952229        1.02497311482114
   
3. 3.5815        3.4822022531845        1.02851578960547
   
4. 4.3873375        4.25669961260392        1.03068994744409
   
5. 5.17705825        5.01575281246762        1.03215976615343
   
6. 5.9536169875        5.76219877795131        1.03321964703494
   
7. 6.71908202875        6.49801917084989        1.03402003781272
   
8. 7.47497875698437        7.22467405584208        1.03464581228269
   
9. 8.22247663268281        7.94328234724282        1.03514847807681
   
10. 8.96249952962427        8.6547278641645        1.03556110258927
    
11. 9.69579494568443        9.35972570285164        1.03590588586698
    
12. 10.4229795666108        10.0588658697943        1.03619828532656
    
13. 11.1445704596838        10.7526431272433        1.03644939460955
    
14. 11.8610071320921        11.4414780867401        1.03666738179905
    
15. 12.5726675600176        12.1257325320832        1.03685839406006
    
16. 13.2798801102686        12.8057208137257        1.03702714618256
    
17. 13.9829325866946        13.4817184944014        1.03717731478382
    
18. 14.6820792160293        14.1539690253666        1.03731180912691
    
19. 15.3775461262623        14.822688982139        1.03743296137374
    
20. 16.0695357019441        15.4880722271687        1.03754266291161
    
21. 16.7582300891702        16.1502932600767        1.03764246378091
    
22. 17.4437940473636        16.8095099437965        1.03773364635185
    
23. 18.1263772926952        17.4658657449912        1.03781728070899
    
24. 18.8061164411712        18.1194915919424        1.0378942668311
    
25. 19.4831366330534        18.7705074279234        1.0379653670987
    
26. 20.1575529011206        19.4190235197713        1.03803123162178
    
27. 20.829471331158        20.065141567879        1.03809241817175
    
28. 21.4989900525167        20.7089556537613        1.03814940801285
    
29. 22.1662000886292        21.350553053748        1.03820261858454
    
30. 22.8311860912881        21.9900149415495        1.03825241374208
    
31. 23.4940269778094        22.6274169979695        1.03829911208679
    
32. 24.1547964865603        23.2628299425533        1.03834299378922
    
33. 24.8135636634665        23.8963199992312        1.03838430621388
    
34. 25.4703932898523        24.5279493058521        1.03842326858427
    
35. 26.1253462601628        25.1577762757769        1.03846007587394
    
36. 26.7784799166669        25.7858559183209        1.03849490206919
    
37. 27.4298483470723        26.4122401237141        1.03852790291894
    
38. 28.0795026500293        27.0369779173372        1.03855921826321
    
39. 28.7274911727223        27.6601156872496        1.03858897401375
    
40. 29.3738597241085        28.281697388413        1.03861728384602
    
41. 30.0186517668329        28.9017647265068        1.03864425065026
    
42. 30.6619085904078        29.5203573238125        1.038669967781
    
43. 31.3036694678815        30.1375128692923        1.03869452013665
    
44. 31.9439717979063        30.7532672546926        1.03871798509578
    
45. 32.5828512338645        31.3676546982562        1.03874043333166
    
46. 33.2203418014836        31.980707857415        1.03876192952312
    
47. 33.8564760061928        32.5924579316588        1.03878253297694
    
48. 34.4912849313089        33.2029347566236        1.03880229817421
    
49. 35.1247983280064        33.8121668903121        1.03882127525138
    
50. 35.7570446979106        34.4201816922493        1.03883951042485
    
51. 36.3880513690502        35.0270053962784        1.03885704636675
    
52. 37.0178445658222        35.6326631776208        1.03887392253833
    
53. 37.6464494735437        36.2371792147518        1.03889017548635
    
54. 38.2738902981027        36.8405767465814        1.03890583910727
    
55. 38.9001903211626        37.4428781253754        1.03892094488323
    
56. 39.5253719513241        38.0441048658038        1.03893552209325
    
57. 40.1494567716082        38.644277690464        1.0389495980026
    
58. 40.7724655835814        39.2434165721872        1.03896319803302
    
59. 41.3944184484157        39.8415407734076        1.03897634591594
    
60. 42.015334725142        40.4386688828419        1.03898906383066
    
61. 42.6352331063326        41.0348188497061        1.03900137252922
    
62. 43.2541316514245        41.6300080156697        1.03901329144937
    
63. 43.8720478178734        42.2242531447326        1.03902483881699
    
64. 44.4889984903123        42.8175704511883        1.03903603173911
    
65. 45.1050000078705        43.409975625825        1.03904688628844
    
66. 45.720068189796        44.0014838604991        1.0390574175804
    
67. 46.3342183595096        44.5921098712071        1.03906763984333
    
68. 46.947465367209        45.1818679197655        1.03907756648262
    
69. 47.5598236111292        45.7707718342048        1.03908721013936
    
70. 48.171307057558        46.3588350279682        1.03909658274407
    
71. 48.781929259696        46.9460705180036        1.0391056955659
    
72. 49.3917033754422        47.5324909418249        1.03911455925785
    
73. 50.0006421841805        48.1181085736161        1.03912318389831
    
74. 50.6087581026368        48.702935339443        1.03913157902929
    
75. 51.2160631998684        49.286982831635        1.03913975369162
    
76. 51.8225692114458        49.8702623223898        1.03914771645746
    
77. 52.4282875528783        50.4527847766555        1.03915547546024
    
78. 53.0332293323346        51.0345608643348        1.03916303842239
    
79. 53.637405362703        51.6156009718573        1.039170412681
    
80. 54.2408261730334        52.1959152131576        1.03917760521153
    
81. 54.8435020194004        52.7755134400993        1.03918462264983
    
82. 55.4454428952231        53.3544052523773        1.03919147131253
    
83. 56.0466585410749        53.9326000069312        1.03919815721608
    
84. 56.647158454015        54.5101068269        1.03920468609429
    
85. 57.2469518964693        55.0869346101446        1.03921106341479
    
86. 57.8460479046881        55.6630920373639        1.03921729439426
    
87. 58.4444552968056        56.2385875798296        1.03922338401271
    
88. 59.0421826805229        56.8134295067598        1.0392293370267
    
89. 59.6392384604383        57.3876258923535        1.03923515798176
    
90. 60.2356308450427        57.961184622505        1.03924085122399
    
91. 60.8313678534003        58.5341134012152        1.03924642091081
    
92. 61.4264573215314        59.1064197567182        1.03925187102116
    
93. 62.020906908514        59.6781110473373        1.03925720536493
    
94. 62.6147241023189        60.2491944670858        1.03926242759188
    
95. 63.2079162253935        60.8196770510264        1.03926754119992
    
96. 63.8004904400065        61.3895656804017        1.03927254954297
    
97. 64.3924537533674        61.9588670875479        1.03927745583826
    
98. 64.983813022531        62.5275878606027        1.03928226317324
    
99. 65.5745749590995        63.0957344480193        1.03928697451208
    
100. 66.1647461337313        63.6633131628941        1.0392915927017

复制代码

从试验数据观察到，两者的误差还算不错。从最右边一列可以看到，误差是缓慢增大的，但增大的幅度逐渐变小。我们还观察到，(n + 1) ^ a(1) 一列（即中间那一列）比乘积列（即最左边那一列）更小一些。不管那么多了，总之，现在我们要猜测这样的不等式了：


a(n + 1) / a(1) ≤ (n + 1) ^ a(1)


假如成立，这将大功告成。

不点

多谢 plutoshen 的支持。有必要再次声明一下，我在这里贴这些内容，不希望打扰到了别人。我是看到热度过去了，没什么人关注了，冷清下来了，才贴这些有关题目本身的内容的。就是为了消遣而已。题目确实很难，而像我这样，用 “土办法”，估计是没啥希望能破解成功的。咱肯定不是来追求成功的，而是追求一种乐趣，也就是说，玩玩而已，消遣而已，练练脑子而已。岁数大了，脑子早已僵化了，现在练练脑子，也没啥坏处。

shy20070509

每个字都认识，但是它们合到一起就不知道什么意思了。

不点

前面我们猜测了这样一个估计式：


a(n) ≤ a(1) * n ^ a(1)


但是，用电子表格来检验的时候，出现了两个异常的数据点，使得上述不等式不能成立。这两个异常点是 a(2) 和 a(3)。令人欣慰的是，无论我怎样改变 a(1) 的值，异常点都是 a(2) 和 a(3)，没再扩散到更大的范围。也就是说，从 a(4) 开始，经过 a(5), a(6) ......，直到无穷，上述不等式恒成立。这就给了我们动用数学归纳法的一线希望。


下面说说用电子表格进行的另外一个检验。前面那个估计式出现了两个异常点，那么，本次的思路是，把右边放大，让异常点消失掉。于是，就有了下面这个估计：


a(n) ≤ n ^ a(1)

用电子表格检验的结果是：没有异常点了。


上述两个估计式，无论哪个，只要能够获得严格证明，那都意味着成功。电子表格试验的结果，肯定不属于 “证明”，电子表格只能进行有限的检验。不过要想证明出来，恐怕又是一个难题。

liangzr1976

481416322 发表于 2024-7-5 04:14
楼主说的对，作弊她找谁呀？大致看了分析与方程，属于大学数学专业本科生的知识范围，与博士、硕士的知识 ...

我是20年前的本科，感觉当年的 普通本科 大学数学 不是这些吧！看起来至少是考研准备及硕士研究生之类的数学

plutoshen

没想到能在这里看到大佬做数学题。

家驹

一脸懵逼进来，一脸懵逼出来

481416322

liangzr1976 发表于 2024-7-10 19:02
我是20年前的本科，感觉当年的 普通本科 大学数学 不是这些吧！看起来至少是考研准备及硕士研究生之类的 ...

就知识点来说，没有超标，但难度体现在灵活性，综合性，技巧性诸方面

qindaishi

路过看看，有人会解么？

不点

前面我们猜测了两个估计式：

a(n) ≤ a(1) * n ^ a(1)   【只当 n > 3 时成立】
a(n) ≤ n ^ a(1)             【对于所有正整数 n 成立】

前面也说了，根据电子表格的检验，第一个不等式存在两个例外值（即异常点）a(2) 和 a(3)，第二个不等式通过了所有的检验。但是，当尝试用数学归纳法进行证明的时候，我都没能顺利做下去。客观上究竟能否用数学归纳法把它们做出来，我也不知道。我只能说，我的能力有限，无法做到。我相信上述两个式子是成立的，因此，应该可以被别人证明出来，甚至他也用数学归纳法来证明，只不过（需要）处理得更细致罢了。我失败了，是因为我没那么细致，或者说，我能力不济，达不到完成证明所需要的水平。

失败之后，我又尝试了一些估计式，其中，下面这个估计式貌似是成功的，可以用数学归纳法来证明：

a(n) ≤ b * n ^ c   

这里引入常数 b = a(1)，这是因为 a(1) 写起来太长，换用字母 b 更友好一些。

而常数 c 是介于 b 和 1 之间的数，而且是在正中间，即 c = (b + 1) / 2

也就是说，c 比 b 大一些，但仍然小于 1，也即

a(1) < c < 1

之所以要弄出一个 c 来，就是想要它对数学归纳法的证明过程有帮助。


再引入一个常数 d = c - b，它也等于 1 - c，或者也等于 (1 - b) / 2

画个图，用来直观地说明这些常数之间的大小关系：


--------------------------------------- a(1) ----------------------------
---------------------------------------- b ------------- c ------------- 1
---------------------------------------- | <----d----> | <----d----> |

martin313

只是看懂了矩阵的几个阿拉伯数字，其他基本上不懂

不点

再解释一下，方便懒人们观看。我也是懒人，我也希望别人写的文章通俗易懂。

只要 a(1) 确定了，这些常数也都确定了。虽然看起来眼花缭乱的，有好几个常数，但是，它们都是从 a(1) 导出的，都是唯一确定的，而不是随机的、毫无关联的。要有点耐心往下看。

我说过，这个最新的估计式是可以用数学归纳法证明出来的。在指数位置（即多少“次方”的位置）引入常数 c 之后，数学归纳法终于畅通无阻了。一旦完成证明，也就差不多等于做完了整个题目，因为剩下的工作非常少。

因此，数学归纳法的证明过程，是关键步骤。也许有人不想让我立刻写出证明的过程，他可能想要自己试试。所以，我把这个证明暂时挂起来，而先做剩下的那一点收尾工作。

不点

分别用 b = a(1) = 0.1，0.9，0.99，0.999 对 a(n) ≤ b * n ^ c  进行了检验，全都通过。用电子表格进行的数据检验，也是对 “数学归纳法证明过程是否正确” 的一个检验。数据检验时，万一有不正常的反例出现，那就意味着数学归纳法证明过程中含有错误，属于无效证明。


好的，假定 a(n) ≤ b * n ^ c 是已经被严格证明了的，继续解题。


先前得到了如下的 “乘积关系式”：


a(n+1)/a(1) = [ 1+a(n)/n² ] [ 1+a(n-1)/(n-1)² ]…[ 1+a(2)/2² ] [ 1+a(1)/1² ]


将 a(n) ≤ b * n ^ c 代入右端进行放大，得


a(n+1)/a(1) ≤ [ 1+b*n^c/n² ] [ 1+b*(n-1)^c/(n-1)² ]…[ 1+b*2^c/2² ] [ 1+b*1^c/1² ]


右端乘积中含 n 的分式约分以后，分母中的次方数为 (2 - c)。由于 c < 1，因此次方数 (2 - c) > 1。那么这个乘积随着 n 的增大是收敛的，也即，有极限 L 存在，而且 L 是有限数。这个乘积随着 n 的增大也是严格递增的，因此，不管 n 是多大，右端都小于 L。于是得


a(n+1) / a(1) < L 【对任意正整数 n 成立】


a(n+1) < a(1) * L  【对任意正整数 n 成立】



这就是说，a(2), a(3), ...... 都是小于 a(1) * L。不用说了，a(1) 也是小于 a(1) * L，这是因为 a(1) < a(2) < a(3) < ... （这个数列本来就是严格递增的）。因此


a(n) < a(1) * L  【对任意正整数 n 成立】


这就证明了数列 a(n) 有上界 a(1) * L。既然单调递增数列有上界，它也就有极限，并且极限是个有限数。证毕。

2011medp7060

谢谢！

240893

GPT能解决吗

ster1357A

完全忘记了，居然连公式符号都不懂得读

plutoshen

240893 发表于 2024-7-11 13:40
GPT能解决吗

你是说AI的gpt吧？猛一看还以为gpt分区。
不要迷信，很多问题AI回答的都驴唇不对马嘴，只能参考。

2011bigstern

感觉学历高的质疑的多点。

不点

现在就来尝试证明：



a(n) ≤ b * n ^ c



请大家检查证明过程是否有错。



首先，当 n = 1 时，a(1) ≤ b * 1 ^ c 显然成立，因为右端就等于 b，也即 a(1)。
现在假设当 n = k 时不等式成立，即 a(k) ≤ b * k ^ c。利用已知的数列递推关系式，我们来考察 a(k + 1) 的情况。


a(k + 1) = a(k) + a(k)² / k²

               ≤ b * k ^ c + b² * k ^ (2 * c) / k²
                = b * k ^ c * (1 + b / k ^ (2 - c))


我们想要证明的是 a(k + 1) ≤ b * (k + 1) ^ c，因而只需证明



b * k ^ c * (1 + b / k ^ (2 - c)) ≤ b * (k + 1) ^ c


也即



1 + b / k ^ (2 - c) ≤  (1 + 1 / k) ^ c ……………………………………①

利用 (1 + x) ^ c 的幂级数展开式（教材知识）可以知道


1 + c * x + (c * (c - 1) / 2) * x² ≤ (1 + x) ^ c 对于 0 ≤ x ≤ 1 成立【注意 c < 1】。



我们的目标是要证明 ① 式。利用上述不等式，我们知道，要证明 ① 式，只需证明


1 + b / k ^ (2 - c) ≤  1 + c / k + (c * (c - 1) / 2) / k²


即可。我们对上面这个不等式进行等价变换【两边都去掉常数 1】，得


b / k ^ (2 - c) ≤  c / k + (c * (c - 1) / 2) / k²


利用常数之间的关系 c = b + d，d = 1 - c，得




b / k ^ (1 + d) ≤  (b + d) / k - (c * d / 2) / k²


即



b / k ^ (1 + d) ≤ b / k + d / k - (c * d / 2) / k²


即



b / k ^ (1 + d) ≤ b / k + d / k *(1 - c / 2 / k)


而最后这个不等式显然成立，只需注意到 1 - c / 2 / k > 0。



至此，就完成了 a(k + 1) ≤ b * (k + 1) ^ c 的证明，即，当 n = k + 1 时，a(n) ≤ b * n ^ c 也成立。


根据数学归纳法原理，a(n) ≤ b * n ^ c 对于任意正整数 n 成立。

galaxyz2012

阿赛还是有难度的